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Darstellende Geometrie im weiteren Sinn

Unter darstellender Geometrie im weiteren Sinn (auch verallgemeinerte darstellende Geometrie) wollen wir jede zwei- (oder manchmal auch drei-)dimensionale geometrische Darstellung von Objekten oder Beziehungen zwischen Objekten verstehen, die

  1. entweder eine höhere Dimension als drei haben (für den Nichtmathematiker kaum vorstellbar),
  2. oder einer anderen als der euklidischen Geometrie unterliegen (der anschaulichste Fall ist hier die Darstellung der gekrümmten Erdoberfläche im ebenen Kartenbild wie unten im Entwurf von Stabius-Werner),
  3. oder ganz abstrakt (im Sinne von nicht geometrisch) sind, z.B.
    • der Stammbaum als graphische Darstellung von Verwandtschaftsbeziehungen oder Beziehungen zwischen Begriffen, wie die Bäume der Laster und Tugenden
    • das graphische Bild einer Funktion im Koordinatensystem, wobei x und y zum Beispiel physikalische oder ökonomische Größen sind
    • das statistische Diagramm, wie auch die Alterspyramide im unteren Bild
    • ein Ablaufplan als graphische Darstellung eines zu organisierenden Prozesses

Entwurf von Stabius-Werner Bäume der Tugenden und Laster
Alterspyramide auf Briefmarke

Geometrie in der
Kirche von Bristow
Euklid auf dem
Schönen Brunnen (Nürnberg)

Nirgendwo ist die Analogie zwischen Mathematik und bildender Kunst so groß, aber auch so verborgen wie in diesem Bereich, denn auch Kunst stellt häufig als letztlich geometrisches Produkt (ebenes Bild oder räumliche Skulptur) etwas dar, was unseren Sinnen sonst nicht unmittelbar zugänglich wäre. Künste und Wissenschaften, Tugenden und Laster wurden seit altersher personifiziert, d.h. durch Personen dargestellt, die den betreffenden abstrakten Begriff repräsentieren (z.B. die Geometrie durch Euklid) und denen eventuell der Eindeutigkeit halber noch Gegenstände beigegeben wurden: der Eitelkeit ein Spiegel, der Tapferkeit ein Schwert, der Geometrie ein Zirkel. Auch ein dargestelltes Gefühl wie Trauer, Freude, Liebe, ein historisches oder mythisches Ereignis ist als solches ein Abstraktum und von seiner bildlichen Darstellung verschieden. Genau wie schon in der traditionellen und erst recht in der verallgemeinerten darstellenden Geometrie ein Bild im allgemeinen ohne zusätzliche nichtoptische Informationen über das Abgebildete, über die verwendete Darstellungstechnik und eventuell über den Urheber des Bildes und seine Absicht unverständlich bleibt, erschließt sich die Botschaft, die ein Kunstwerk (eventuell) vermitteln will, im allgemeinen nur durch zusätzliches Wissen aus den bereits genannten Kategorien.


Plakat von Guderian

Darstellende Geometrie im eben erläuterten weiteren Sinne betrieb Dietmar Guderian, als er das Plakat der IX. Kunstausstellung documenta (Kassel 1992) entwarf. Man sieht die an eine Wandtafel gemalte und geschriebene Erklärung des Begriffes Differentialquotient am einfachen Beispiel der Funktion y = x2. Hier ist in hohem Maße Zusatzinformation nötig, um die Aussage des Plakates und seinen Zusammenhang mit der Kunstausstellung zu verstehen. Den Schlüssel liefert das farbig hervorgehobene Wort displacement. So wie man sich um ein Stück von der Stelle x entfernen muß, um über den dann zu bildenden Differenzenquotienten schließlich den Anstieg der Tangente im Punkt x zu finden, soll man sich auch bei der Betrachtung eines Kunstwerkes ein Stück weit davon entfernen (im wörtlichen wie im übertragenen Sinn), um es aus der Distanz zu verstehen. Dies ist freilich eine Analogie, auf die wohl kaum jemand ohne Hilfe kommen wird. Wer will da noch behaupten, Mathematik sei schwerer zu verstehen als Kunst!


Wir gelangen nun in einen eigenartigen Grenzbereich zwischen der Nutzung mathematischer Konzepte der darstellenden Geometrie im weiteren Sinne für künstlerische Zwecke und der gelegentlichen (eventuell auch selbstgestellten) Aufgabe des Künslers, ein mathematisches Thema zu bearbeiten, insbesondere vielleicht im Zusammenhang mit einem in Auftrag gegebenen Denkmal etwas von der an sich abstrakten Leistung eines Mathematikers optisch umzusetzen.

Möbius-Topf Johann Benedikt Listing

Zu den mathematischen Gegenständen, die spontan das Interesse von Künstlern gefunden haben, gehören u.a. die als Loxodromen bezeichneten Kurven auf einer mit Gradnetz versehenen Kugel, die jeden Meridian unter einem konstanten Winkel schneiden und daher große Bedeutung für die Navigation besitzen. Escher hat mehrfach Bilder von Kugeln 8.6 mit diesen Kurvenscharen geschmückt. Sie nähern sich den beiden Polen in immer enger werdenden Spiralen, ohne sie jemals zu erreichen. Dazu gehört das sogenannte Möbiussche Band (benannt nach dem bereits zitierten Mathematiker A. F. Möbius, sein Erstentdecker (1862) war allerdings Johann Benedikt Listing (1808-1882).) Schon 1935 realisierte Bill erstmals ein Möbiussches Band als Skulptur, die Plastik "Unendliche Schleife" (Museum of Arts, Baltimore). Damals glaubte er noch, selbst der Erfinder dieses ebenso einfachen wie erstaunlichen geometrischen Gebildes zu sein. An der Einseitigkeit des Bandes ändert sich nichts, wenn man es beliebig verbeult (topologisch verformt), z.B. zu einer Schale mit verdrehtem Henkel, auf der man folglich über den Henkel von der Innen- zur Außenseite gelangen kann, ohne einen Rand zu überschreiten.


Während sich das Möbiusband noch ohne Selbstdurchdringung im Raum realisieren läßt, ist dies bei randlosen einseitigen Flächen nicht mehr möglich. Insofern gehören ihre sich dann notwendigerweise selbst durchdringenden Modelle zu unserer eingangs aufgelisteten Rubrik (2) der darstellenden Geometrie im weiteren Sinn. Wir zeigen ein Glasmodell der sogenannten Kleinschen Flasche (auch Kleinscher Schlauch) und ein aus Stahlbändern gefertigtes Modell der Boyschen Fläche. Letztere hat in der Mathematik eine besondere Bedeutung: Ordnet man jeder Schar untereinander paralleler Geraden einer Ebene) einen unendlich fernen Punkt zu, wie es u.a aus den Bedürfnissen der Zentralperspektive entspringt, so schließen diese jede Gerade zu einer gesschlossenen Kurve ab, da man dem unendlich fernen Punkt einer Geraden auf ihr in beiden Richtungen näherkommen kann. Eine grobe Vorstellung von der derart projektiv abgeschlossenen Ebene erhält der Besucher, wenn er sein Taschentuch in die Hand nimmt und versucht, je zwei diametral gegenüberliegende Punkte des Randes zusammenzuführen. Ohne Selbstdurchdringung ist dies offenbar nicht möglich. Die Boysche Fläche realisiert es mit minimaler Selbstdurchdringung. Ihr Modell steht seit 1991 im Park des Mathematischen Forschungsinstitutes (Kongresszentrum) Oberwolfach/Schwarzwald (gespendet von der Daimler-Benz AG).

Kleinsche Flasche Boysche Fläche


Baum der Tugend

Baum der Laster

Alterspyramide auf Briefmarke

Geometrie in der Kirche von Bristow

Euklid auf dem Schönen Brunnen (Nürnberg)

Plakat von Guderian

Möbius-Topf

Johann Benedikt Listing

Kleinsche Flasche

Kleinsche Flasche

Boysche Fläche

Boysche Fläche

Eine ganz andere Art nichteuklidischer Geometrie entstand aus dem Nachweis, dass das Axiom des Euklid nicht aus den übrigen Grundsätzen der Geometrie beweisbar ist.

Wir bemerkten schon, daß die durch ein Bild vermittelte Information im allgemeinen auf dem Zusammenspiel zwischen Bild und nichtoptischer Zusatzinformation beruht. Zu ergänzen ist nun, daß es dabei eine unendliche Schar von Möglichkeiten gibt, wie die Information auf Bild und Nichtbild verteilt sein kann, und dabei neben dem häufigen Fall der bildlosen Information auch der Fall der bildlichen Information ohne Zusatzinformation gelegentlich vorkommt. (Dies ist ein Teil des gemeinsamen Forschungsprogramms von Mathematikern und Kunstwissenschaftlern in Greifswald.) Speziell in der Mathematik (aber nicht nur dort, man denke an Piktogramme!) tritt dieser Fall tatsächlich seit ihrem Beginn vor mehr als 5000 Jahren gelegentlich auf, wenn ein Begriff oder Sachverhalt durch eine graphische Darstellung so klar vermittelt werden kann, daß es keiner zusätzlichen Erläuterung bedarf. Ein Beispiel dafür ist der 1969 errichtete sogenannte Wissenschaftlerwürfel in Halle-Neustadt. Die Seite, die Georg Cantor (1845-1918) gewidmet ist, stellt seinen Beweis ohne Worte für die Abzählbarkeit der Menge geordneter Paare von natürlicher Zahlen dar. Durch Betrachten der graphischen Darstellung der Beweisidee, kann man auch ohne explizite Kenntnis der Begriffe Abzählbarkeit und geordnetes Paar den Sachverhalt intuitiv verstehen.


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