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Parkette und Pflaster

Parkette und Pflaster sind oft zugleich Ornamente, besonders dann, wenn sie Symmetrien besitzen. In neuerer Zeit sind aber gerade solche Parkette in den Mittelpunkt des Interesses gerückt, die keine Symmetrien besitzen. Andererseits bilden die als Pflasterungen realisierbaren Muster nur einen kleinen Teil der Ornamentik.

Unsere Geschichte beginnt im 6. Jahrhundert v. Chr., als die Pythagoreer, mathematisch interessierte Anhänger eines im Raum Süditalien/Sizilien wirkenden politisch-religiösen Geheimbundes, danach fragten, auf welche Weisen man die Ebene lückenlos mit regelmäßigen und paarweise kongruenten (deckungsgleichen) Vielecken füllen kann. Da dann in jeder Pflasterecke die Summe aller Innenwinkel 360 Grad ist, gibt es nur die drei hier gezeigten Möglichkeiten, die sogenannten platonischen Parkette.


Gerade derartige Erkenntnisse faszinierten die Pythagoreer, weil sie darin eine Bestätigung ihrer These sahen, dass man die Welt mit Hilfe der Mathematik verstehen kann. Sobald unser regelmäßiges Vieleck mehr als sechs Seiten hat, ist jeder seiner Innenwinkel größer als 120, aber kleiner als 180 Grad. Es könnten also in jeder Ecke nur zwei aneinanderstoßen, und es bliebe immer ein keilförmiger Raum zwischen ihnen frei. Beim Fünfeck ist aber jeder Innenwinkel 108 Grad, d.h. drei in einer Ecke sind zu wenig, vier sind zu viel. Läßt man archimedische Pflaster zu, so vergrößert sich die Zahl der Möglichkeiten um 8. Diese halbregelmäßigen Pflaster können Sie hier betrachten. Bei ihnen ist zwar noch gefordert, dass alle Vielecke regelmäßig und die Ecken des Pflasters paarweise kongruent sind, aber die Vielecke müssen nicht alle untereinander gleich sein.

Läßt man auch die Forderung fallen, dass die Eckenfiguren paarweise kongruent sein sollen, so kann man die Ebene zum Beispiel mit Quadraten von vier verschiedenen Größen pflastern.


Mit Quadraten von 24 verschiedenen Größen läßt sich die Ebene sogar so pflastern, dass je 24 dieser Quadrate ein größeres Quadrat bilden (Willcocks 1948).

Die anläßlich des Internationalen Mathematikerkongresses Berlin 1998 herausgegebene Sonderbriefmarke zeigte u.a. ein aus 11 verschiedenen Quadraten zusammengesetztes Rechteck mit fast gleichlangen Seiten.

Briefmarke Fastquadrat von Jana Schreiber


Briefmarke

Fastquadrat von Jana Schreiber

Karl Reinhardt

Baustein von Reinhardt

Heinrich Heesch

Tile von Heesch

Voderbergs Tiles

Wie das Bild von Jana Schreiber zeigt, gelingt das schon mit 9 verschiedenen Quadraten.

Pflastern allein mit regelmäßigen Fünfecken ist, wie oben begründet, unmöglich. Historische Versuche von Pflasterungen mit Fünfecken zeigen, dass sich schon Albrecht Dürer (1471-1528) und Johannes Kepler (1571-1630) Gedanken gemacht haben, wie man mit Fünfecken und möglichst wenigen Formen zusätzlicher Parkettsteine pflastern kann. Dabei gelangten beide erstaunlich dicht an die Entdeckung von Parketten, die man heute als aperiodisch bezeichnet und die in der Struktur fester Körper als Quasikristalle eine zunehmend wichtige Rolle spielen, siehe Aperiodische Parkette.

Karl Reinhardt Baustein von Reinhardt

Schon auf dem 2. Internationalen Mathematikerkongreß 1900 in Paris hatte der berühmteste Mathematiker seiner Zeit, der Göttinger Professor David Hilbert (1862-1943) in einer folgenreichen Liste von 23 ungelösten Problemen u.a. die Frage gestellt, ob es einen Körper gibt, mit dessen Kopien man zwar den Raum lückenlos füllen kann, aber nur auf eine solche Weise, dass es nicht zu je zwei Pflastersteinen eine Symmetrieabbildung des ganzen räumlichen Pflasters gibt, die den einen Stein mit dem anderen zur Deckung bringt. 1928 gab der Greifswalder Mathematikprofessor Karl Reinhardt (1895-1941) das erste Beispiel eines solchen Bausteins an.


Heinrich Heesch Tile von Heesch

Vier Jahre später fand Heinrich Heesch (1906-1995) solche tiles (englisch: Fliese, Fußbodenplatte) auch für den ebenen Fall. Seine Entdeckungen gingen unmittelbar in die Produktion von neuartigen Wand- und Bodenfliesen ein, mit denen man ganz andere als die bis dahin üblichen Muster legen kann.


Voderbergs Tiles

Heinz Voderberg (1911-ca. 1942), ein Student Reinhardts, löste 1936 ein von diesem gestelltes Problem: Zwei kongruente geradlinig begrenzte Tiles A, B umfassen ein Loch, in das sogar zwei weitere dazu kongruente Tiles C, D hineinpassen. Fortsetzung dieser Parkettierung liefert die seitdem vielfach abgebildete Voderberg-Doppelspirale, die die gesamte Ebene überdeckt.

Zum Sprechen über die von Reinhardt, Heesch und Voderberg gefundenen Beispiele empfehlen sich phantasievolle Namen wie "Reinhardtsches A", "Hexenprofil von Heesch" und "Voderbergsche Strumpfhose". Sie erleichtern es auch, sich die Formen dieser ebenen oder räumlichen tiles einzuprägen. Sowohl bei Reinhardt als auch bei Heesch besteht der Grundgedanke für einen Pflasterstein darin, dass man einen solchen, mit dem sich Ebene bzw. Raum periodisch pflastern lassen, aus zwei oder mehr kongruenten Teilen so zusammengesetzt, dass diese Teile nur durch solche Bewegungen zur Deckung gebracht werden können, die das Pflaster als ganzes nicht invariant lassen. Im Fall des Reinhardtschen A ist eine Schraubung nötig, um die zwei A's, die zusammen eine "Rakete" bilden, zur Deckung zu bringen. Das Pflaster aus Raketen ist dann periodisch, gestattet aber als Ganzes diese Schraubung nicht. Die Rolle der Schraubung übernimmt beim Hexenprofil von Heesch eine Gleitspiegelung.

Da alle diese Dinge neben ihrem spielerischen und ästhetischen Reiz auch überraschende naturwissenschaftliche Anwendungen finden (Stichwort Quasikristalle), hat sich aus der anfangs so simpel scheinenden Fliesengeometrie ein blühendes Teilgebiet der Forschung entwickelt, an dem auch in Greifswald gearbeitet wird und von dem das mittlerweile zum Klassiker gewordene Buch [Grünbaum und Shephard 1987] Zeugnis ablegt. Für Mathematiker ist es eine anspruchsvolle Lektüre, Designer können durch die bloße Betrachtung des reichen Bildmaterials viele Anregungen gewinnen.


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