Direkt zum Seiteninhalt

Wegweiser für:     Start Perspektive und darstellende Geometrie
Perspektive und darstellende Geometrie

Unter Perspektive versteht man, wenn nichts anderes gesagt wird, die Erzeugung eines zweidimensionalen Bildes aus einer dreidimensionalen Szene durch Zentralprojektion, wie sie im wesentlichen auch der Abbildung der Welt auf der menschlichen Netzhaut zugrundeliegt. Von speziellen Arten und Verallgemeinerungen wird noch zu sprechen sein.

Wie schon im Zusammenhang mit Eschers perspektivisch widerspruchsvollen Bildern angedeutet wurde (siehe Kapitel Künstler als Mathematiker), sind diese Abbildungen grundsätzlich mit dem Mangel der unendlichen Vieldeutigkeit behaftet, da man jeden Objektpunkt auf seinem Sehstrahl beliebig verschieben kann, ohne dass sich am Bild etwas ändert. Filmtricks lebten davon, bevor man begann, sie mit dem Computer zu realisieren. Die Zentralperspektive als Abbildungsprinzip wurde im wesentlichen von den Künstlern der Renaissance entwickelt, als sie begannen, von der symbolträchtigen mittelalterlichen Malweise abzurücken und sich um Realismus zu bemühen.

Darstellende Geometrie (in der traditionellen Bedeutung des Wortes) umfaßt die Gesamtheit aller geometrisch exakt definierten Verfahren, zweidimensionale Bilder von dreidimensionalen Objekten so zu konstruieren, dass man aus diesen Bildern bestimmte Informationen über die abgebildeten Objekte zurückgewinnen kann. Dazu gehören vor allem die Verfahren der zugeordneten Normalrisse (Zwei- und Dreitafelverfahren), durch die in gewissen Grenzen die eindeutige Rekonstruierbarkeit des räumlichen Objektes aus dem Bild ermöglicht wird, aber bei Beachtung bestimmter Konventionen und Beschränkungen auch die Eintafelverfahren (Schrägriss, kotierte Projektion usw.) und in diesem Sinne auch die Zentralperspektive.

Zentralperspektive und teilweise auch die übrigen Verfahren der darstellenden Geometrie wurden zuerst von Künstlern (Baumeister eingeschlossen) entwickelt. Daher wollen wir die darstellende Geometrie als das zweite große Geschenk der Kunst an die Mathematik bezeichnen. Die landläufige Meinung ist, dass die Zentralperspektive zeitlich vor den Mehrtafelverfahren entstand. Nähere Betrachtung zeigt jedoch, dass das nicht stimmt. Nicht nur waren Elemente des Grund-Aufrissverfahrens (im Gegensatz zur Perspektive!) schon bei den alten Ägyptern und Babyloniern in Gebrauch. Auch die Gesetze der Zentralperspektive sind in der Renaissance auf die Art ergründet worden, dass man den Grund-Aufriss des abzubildenden Objektes um den Grund- und Aufriss der angenommenen Bildebene und des angenommenen Betrachterauges ergänzte und dann nach der Methode des Grund-Aufrissverfahrens punktweise die Durchstoßung der Sehstrahlen durch die Bildebene konstruierte, siehe Skizze. Dieses Vorgehen wird dem italienischen Künstler Filippo Brunelleschi (1377-1446) als erstem zugeschrieben.

Dürer beherrscht und lehrt in seiner Underweysung nicht nur diese Methode am Beispiel der Konstruktion des Bildes eines Würfels und seines Schattens bei angenommener punktförmiger Lichtquelle (siehe Abbildung "Schattenkonstruktion"), sondern er zeigt in der Proportionenlehre am Beispiel eines Würfels, wie man einen Körper zunächst in möglichst einfacher Stellung im Grund- und Aufriss darstellt und dann durch abwechselndes Drehen um zur Grund- bzw. Aufrissebene senkrechte Achsen schrittweise in die jeweils gewünschte allgemeine Lage bringt (siehe Abbildung "Würfelansichten"). Sein Motiv war in diesem Zusammenhang, einen zu diesem Zweck polyedrisch approximierten menschlichen Körper in den verschiedensten Stellungen richtig abzubilden. Die Abbildung "Kopfkonstruktion" zeigt eines der vielen Beispiele aus der Proportionenlehre, in denen Dürer das Mehrtafelverfahren auf menschliche Köpfe anwendete.

Schattenkonstruktion Würfelansichten Kopfkonstruktion
Frontispiz von Hogarth

Dem Bestreben, die Gesetze der Zentralperspektive immer besser zu verstehen, das bald von den Künstlern in die Hände von Mathematikern überging, darunter solche wohlbekannten wie Simon Stevin (1548-1620), Brook Taylor (1685-1731) und Johann Heinrich Lambert (1728-1777), stand eine zunehmende Unlust der Maler und Graphiker gegenüber, sich mit dieser für sie komplizierten Materie zu beschäftigen. Es ist anzumerken, dass einerseits bei der Abbildung existierender Szenen (aber natürlich nicht bei der Gestaltung erfundener) die bewußte Anwendung der Zentralperspektive weitgehend durch genaue Beobachtung des Motivs ersetzt werden kann, dass andererseits die Mühen der Zentralperspektive zur Erfindung und Benutzung von technischen Hilfsmitteln (siehe auch Dürers zahlreiche Vorschläge betreffs Hilfsmittel zur Konstruktion von Perspektive) führten, was schließlich in der Erfindung der Fotografie mündete. Zunächst aber zeigt das Bild rechts den Ausschnitt eines Frontispiz, das der berühmte englische Graphiker William Hogarth (1696-1764) gestaltet hat. Mit dem Bild wird auf humorvolle Weise davor gewarnt, wieviele Fehler man begehen kann, wenn man sich nicht des hiermit angepriesenen Perspektiv-Lehrbuches Perspective made easy (1754) von Joshua Kirby bedient.


Kirche Saint Roch in Paris Scheinkuppel von Pozzo

Zu den bereits erwähnten Sonderformen der Zentralperspektive gehören die illusionistische Perspektive, die insbesondere eine Erweiterung der damit ausgemalten Räume in Höhe oder Tiefe vortäuscht, und die Reliefperspektive, bei der der Halbraum hinter einer die Bildwand ersetzenden Frontebene umkehrbar eindeutig auf eine Schicht zwischen der Frontebene und einer dazu perallelen Fluchtebene hinter der Frontebene abgebildet wird. Die Abbildung rechts zeigt eine auf eine flache Decke gemalte sogenannte Scheinkuppel von Andrea Pozzo (1642-1700), einem Meister der illusionistischen Malerei, der auch ein Lehrbuch darüber verfaßt hat. Eine ähnliche Illusion findet man z.B. an der Decke des Hauptsaales von Schloß Troja in Prag. Modell 7.8 erläutert das Prinzip der Reliefperspektive. Ein Anwendungsbeispiel sieht man im Bild rechts. Der Rahmen des Bildes, der eine große Tiefe vortäuscht, ist in Wahrheit kaum 30 cm tief.

Eine legitime Disziplin der wissenschaftlichen Geometrie wurde die darstellende Geometrie vor allem durch den Einfluß des französischen Mathematikers Gaspard Monge (1745-1818), der daher oft, aber etwas mißverständlich, als Begründer der darstellenden Geometrie bezeichnet wird 7.10. Sein wahres Verdienst um die darstellende Geometrie ist zweifach: Einerseits etablierte er sie als Hauptlehrgebiet an der Pariser Polytechnischen Schule. Von dort verbreitete sie sich in den ersten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts als "Sprache des Ingenieurs" an die technischen Bildungsanstalten aller europäischen Länder, löste sich aber unter den Händen von Spezialisten bald (zu früh, wie man heute sagen könnte, und gegen die Absichten von Monge) aus der "eigentlichen" Mathematik heraus. Andererseits hat Monge als erster so deutlich, wie man es zu seiner Zeit artikulieren konnte, den Modellcharakter der Erzeugnisse der darstellenden Geometrie (im Sinne des mathematischen Modellbegriffs) und ihre Verwandtschaft mit den Koordinatenmethoden betont. Damit ist gemeint, dass das nach den Regeln der darstellenden Geometrie angefertigte Bild eines Objektes - ebenso wie ein System von Koordinaten dieses Objektes - sich zu diesem Objekt etwa so verhält wie eine Ziffernfolge zu der durch diese Ziffernfolge bezeichneten Zahl: Man führt Operationen, die eigentlich das Objekt betreffen, an dieser Kodierung des Objektes aus. Als eines von weiteren Spezialgebieten der darstellenden Geometrie bildete sich im 19. Jahrhundert die konstruktiv exakte Darstellung des beleuchteten Körpers heraus, die zu einer Zeit, als es die Fotografie noch nicht gab, vor allem die Anschaulichkeit technischer Zeichnungen beträchtlich erhöhte, siehe das Kegelzahnrad von 1840.

Nun kommen wir noch einmal zu einem Mann, der - obwohl mehr Künstler als Mathematiker - die Geometrie um ein wesentliches Resultat bereichert hat: Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876) war ursprünglich Landschaftsmaler und Privatlehrer der Malerei. Ab 1849 übte er Lehrtätigkeiten an der Berliner Bauakademie und an der Berliner Kunstakademie aus, wurde 1860 sogar zum Professor berufen und verfaßte ein zweibändiges Lehrbuch der darstellenden Geometrie (1860-1876). Der von ihm gefundene und nach ihm benannte Satz, auch als Fundamentalsatz der Axonometrie bezeichnet, besagt, dass es zu jedem ebenen, echt zweidimensionalen System dreier mit Einheiten versehener Achsen eine Projektionsrichtung gibt, so dass die gegebenen Strecken gerade das Bild dreier paarweise aufeinander senkrechter Würfelkanten (oder mathematischer gesprochen: das Bild eines räumlich-kartesischen Dreibeins) sind. Dieser Satz liefert also die theoretische Rechtfertigung für das übliche Vorgehen, auf einem zuzeichnenden Bild die Richtungen der paarweise aufeinander senkrechten Kanten eines Würfels und auch deren Längen willkürlich "nach Gefühl" zu wählen. Dieser Satz ist vom mathematischen Typ der sogenannten Darstellungssätze. Er ist zutiefst mathematisch gedacht und insofern ein erstaunlicher Beitrag eines mathematisch kaum gebildeten Künstlers. Umso bedauerlicher ist es, dass er heute selbst in Lehrbüchern der darstellenden Geometrie selten bewiesen, mitunter nicht einmal erwähnt wird. Modell 7.12 verdeutlicht das Prinzip eines Beweises. Er beruht auf dem rechnerisch zu beweisenden Hilfssatz, dass je zwei Dreiecke bis auf die Größe durch eine Parallelprojektion ineinander überführt werden können.


Schattenkonstruktion

Würfelansichten

Kopfkonstruktion

Frontispiz von Hogarth

Kirche Saint Roch in Paris

Scheinkuppel von Pozzo

Realisierung des Unmöglichen
Realisierung des Unmöglichen

Im Zusammenhang mit Escher war schon die Rede von den sogenannten "unmöglichen" oder perspektivisch widerspruchsvollen Objekten und Bildern (siehe Kapitel Künstler als Mathematiker). Sie sind sehr in Mode gekommen; viele Künstler, aber auch Amateure, beschäftigen sich mit immer neuen Ideen für solche Bilder. Inzwischen hat man längst entdeckt, dass es sie schon sehr lange gibt (siehe dazu das Buch Das verzauberte Auge von B. Ernst): Schon seit dem Mittelalter, in gewisser Weise schon in den ältesten Kulturen, wurden Bilder von Objekten amgefertigt, die man so nicht sehen kann. Manchmal lag es schlicht am Unvermögen des Malers, manchmal wollte man, was man für wichtig hielt, ohne Rücksicht auf Realismus deutlich abbilden, manchmal wollte man sich wohl auch einen Spaß und dem Betrachter ein intellektuelles Vergnügen gönnen. Zu den prominentesten Künstlern auf diesem Gebiet zählen wir neben Escher den schwedischen Graphiker Oscar Reutersvärd (geb. 1915) und den britischen Physiker und Mathematiker Roger Penrose (geb. 1931). Das rechte Bild zeigt an einem einfachen Fall die Möglichkeit, das scheinbar Unmögliche doch im Raum zu realisieren.


Obige Abbildung zeigt schwedische Dauerbriefmarken (1982) mit Motiven von Reutersvärd. Bedenkt man, welche Rolle Bildverstehen und das Zusammenwirken von optischer und nichtoptischer Information in der Robotik und anderen Anwendungen der Computergeometrie spielt, so könnte man fast geneigt sein, die widerspruchsvolle Perspektive auf Grund ihrer anregenden Wirkung als das dritte Geschenk der Kunst an die Geometrie zu bezeichnen.


KONTAKT
Institut für Mathematik und Informatik
Walther-Rathenau-Straße 47
17487 Greifswald
Tel.: +49 (0)3834 86 - 46 14
Fax: +49 (0)3834 86 - 46 40

mathinf@uni-greifswald.de
StartseiteImpressum