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Polyeder

Sowohl beim Pflastern als auch bei der Symmetrie war schon von Polyedern (griechisch: Vielflächner) die Rede. Das sind, um es nun zu erklären, dreidimensionale begrenzte Körper, die von endlich vielen ebenen Flächen begrenzt werden, welche folglich miteinander gerade Kanten bilden. Ein Polyeder (und überhaupt eine beliebige Menge von Punkten) heißt konvex, wenn er mit irgend zwei Punkten stets auch ihre Verbindungsstrecke enthält. Während ein beliebiger Polyeder nicht nur nicht konvex sein muß, sondern sogar Durchborhrungen und innere Hohlräume haben kann (die dann ebenfalls von geraden Flächen und Kanten begrenzt sein müssen) und keinerlei Symmetrie aufweisen muß, waren die Menschen schon in der Antike von Polyedern mit hohem Symmetriegrad und besonders davon fasziniert, dass es bei naheliegenden Symmetrieforderungen nur eine sehr kleine Anzahl solcher Körperformen gibt.

Am symmetrischsten sind die regulären oder platonischen Polyeder 5.1. Sie sind dadurch definiert, dass ihre Flächen paarweise kongruente reguläre Flächen (n-Ecke) und ihre Ecken paarweise ununterscheidbar sind. Unter dieser Voraussetzung sind auch die Kanten und die Flächen des Körpers paarweise ununterscheidbar. Es gibt dann zu je zwei Ecken e, e' (eventuell e=e') einer von e ausgehenden Kante k und einer von e' ausgehenden Kante k', einer an k grenzenden Fläche f und einer an k' grenzenden Fläche f' eine Deckabbildung F des Körpers auf sich, so dass F(e) = e', F(k)= k' und F(f) = f' ist. Da jeder Körper wenigstens eine konvexe Ecke haben muß und die Ecken alle gleich sind, müssen alle Ecken eines platonischen Körpers konvex sein, also ist jeder platonische Körper konvex.

Die platonischen Körper wurden schon in der Antike gründlich studiert, und es wurde der einfache Beweis gefunden, dass es nur die fünf hier im Modell gezeigten gibt, nämlich Tetraeder, Kubus, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. Der Beweis ähnelt der im Abschnitt Parkette und Pflaster skizzierten Überlegung, dass es nur drei platonische Parkette gibt (die man jetzt als Ausartungsfälle von platonischen Körpern mit ebenen Ecken und unendlich großer Oberfläche ansehen könnte). Die hier ausgestellten Modelle sind mit für diesen Zweck adaptierten, ursprünglichebenen Ornamenten nach Entwürfen von Maurits Cornelis Escher dekoriert (von dem später noch die Rede sein wird). Die Bastelbögen zu den Modellen stammen aus dem Buch [Schattschneider und Walker, 1987].

Tetraeder Kubus Oktaeder
Dodekaeder Ikosaeder

Streicht man in der Definition der platonischen Körper die Bedingung, dass die regelmäßigen Begrenzungsflächen paarweise kongruent sein müssen, so gelangt man zum ebenfalls bereits in der Antike bekannten Begriff des archimedischen Polyeders. Von diesen gibt es 14 einzelne: Bilder b bis h und j bis p und die beiden unendlichen Scharen a der Prismen und i der Antiprismen, die mit jedem n-Eck (n>2) als Grund- und Deckfläche möglich sind.

Archimedische Polyeder

Archimedes zählte jedoch nur 13 einzelne auf (alle außer k), das ist nur durch eine einzige antike Quelle überliefert, die Collectio des Pappos (um 320), und das Wissen darum war in der Renaissance noch nicht wieder zugänglich. Daher haben Renaissance-Künstler und -Mathematiker aus rein ästhetischer Motivation diese Körper nach und nach unabhängig von der antiken Vorgeschichte wiederentdeckt, wobei es ihnen nicht auf die heute als charakteristisch angesehene "kombinatorische Regelmäßigkeit" (siehe unten) sondern auf die Kugelähnlichkeit ankam. Daher taucht auch die Bezeichnung "archimedischer Körper" zunächst nicht wieder auf, und die "Erfinder" stellen diese Körper als gleichartig mit anderen von ihnen ausgedachten kugelähnlichen, aber nicht archimedischen Körpern dar[Field 1997][Schreiber 1999]. Die Polyeder b bis f und l wurden zuerst von Piero della Francesca (um 1420-1492) wieder beschrieben, Luca Pacioli (um 1445-1517) fügte j, l, m und n hinzu und war offenbar auf die Entdeckung von j so stolz, dass er sich zusammen mit diesem Körper malen ließ 9.6. Albrecht Dürer fand o, d und m.

Illustrationen Leonardos in Paciolis Divina Proportione

Das Netz des "snub cube" o ist erstmals in Dürers berühmtem Lehrbuch der praktischen Geometrie "Underweysung der messung mit dem zirckel und richtscheyt" abgebildet 5.5.b, die beiden anderen befinden sich in der posthum erschienenen 2. Auflage der Underweysung (1538). Der Körper k wurde allem Anschein nach erst um 1930 zufällig bei einem Versuch entdeckt, j zu basteln. Er macht auf ein Problem aufmerksam: Im Sinne der traditionellen Definition ist er archimedisch, da jede Ecke von drei Quadraten und einem gleichseitigen Dreieck gebildet wird, aber im modernen Sinn ist er "anders als die anderen", weil es trotzdem zwei verschieden Arten von Ecken gibt, wenn man die weiteren Umgebungen der Ecken mit einbezieht. Anders gesagt: Es gibt nicht zu je zwei Ecken eine Abbildung des Körpers auf sich, die die eine dieser Ecken mit der anderen zur Deckung bringt, und dies ist eigentlich intuitiv mit dem modernen Begriff des archimedischen Polyeders gemeint. Dieser einzigartige Körper macht also auf einen Mangel der ursprünglichen Definition der archimedischen Körper aufmerksam: Die Gleichartigkeit aller aus einem Eckpunkt und seinen angrenzenden Flächen bestehenden Figuren ist nicht ausreichend, um die Ununterscheidbarkeit aller Ecken zu sichern.

Auch der von Dürer entdeckte snub cube o hat seine Besonderheiten: Er und der Körper p besitzen im Unterschied zu allen anderen archimedischen Polyedern keine Symmetrieebene. Daher existieren sie in zwei zueinander spiegelbildlichen Varianten. Während es bei spiegelsymmetrischen Körpern beim Falten aus ihrem Netz egal ist, ob man das Netz "nach vorn" oder "nach hinten" faltet, entsteht beim snub cube die eine oder die andere Variante.

Die Herleitung dieses Körpers durch Abstumpfen aus einem Würfel ist wesentlich komplizierter als die der meisten übrigen archimedischen Polyeder, und die Berechnung seiner Kantenlänge aus der Kante des umbeschriebenen Würfels führt auf eine Gleichung dritten Grades. Spätestens hier wird einem klar, dass die Darstellung eines beliebigen (halb)regelmäßigen Polyeders in irgendeinem der gängigen Verfahren der darstellenden Geometrie immer darauf beruht, dass man weiß, wie dann ein Würfelbild aussieht und die Gewinnung des darzustellenden Körpers aus dem Würfel an diesem Bild konstruktiv nachvollzieht. Dass dies bei den Polyedern o und p so viel schwieriger als bei den anderen archimedischen Polyedern ist, dürfte die Ursache dafür sein, dass ihre Bilder, als sie 1619 in Keplers harmonice mundi erstmals erscheinen, schief und falsch aussehen und sich dies noch bis ins 20. Jahrhundert hinzieht.

snub cube in der
harmonice mundi
snub cube übernommen durch Th. Heath in
A History of Greek Mathematics, Vol. II

Platonische Körper besitzen eine Umkugel, auf der alle ihre Ecken liegen, und eine Inkugel, die alle ihre Flächen von innen berührt. Archimedische Polyeder besitzen keine Inkugel, aber eine Umkugel. Dies trifft auch auf die Prismen und Antiprismen beliebiger Eckenzahl zu. Noch Kepler bemerkte aber 1619, dass diese von ihm erstmals beschriebenen Körper bei großer Eckenzahl zu verwerfen seien, weil sie dann nicht mehr kugelähnlich genug sind. Die Abbildungen auf dieser Seite zeigen die Faszination, die die im weiteren Sinne kugelähnlichen Polyeder auf die Renaissancekünstler ausübten. Der Vorrat an in diesem Sinne "schönen" Polyedern wurde schon damals durch verschiedene Arten von hochsymmetrischen, aber nicht archimedischen und zum Teil nicht mehr konvexen Polyedern ergänzt.

Schrank mit Polyedermodellen Sternpolyeder von Uccello

Das Intarsienbild aus der Kirche Santa Maria in Organo in Verona von Giovanni da Verona (1457 - 1525) zeigt einen offenen Schrank mit Polyedermodellen. Hier vereinigen sich zwei mathematisch interessante kunsthistorische Züge der Renaissance, nämlich das Interesse für "im weiteren Sinne regelmäßige" Polyeder und die Vortäuschung von Räumlichkeit. (Auch die geöffneten Türen sind Bestandteil des flachen Bildes.) Es ist offensichtlich, dass der Künstler durch die Illustrationen Leonardo da Vincis zur "Divina Proportione" von Luca Pacioli angeregt wurde. Bei Pacioli findet man auch erstmals den hier wiederholten "Globus" mit stückweise geraden Längen- und Breitenkreisen.

Sternpolyeder von Jamnitzer

Den ersten Sternpolyeder bildete schon Paolo Uccello (1397-1475) um 1420 in einem Fußbodenmosaik ab. Aus heutiger Sicht ist es ein als kleines Sterndodekaeder bezeichneter nicht konvexer Körper, der aber dennoch regulär ist, wenn man nur die "äußeren" Ecken wertet und ihn als von sich durchdringenden regulären Sternvielecken begrenzt denkt. Die weitere Geschichte der regulären Sternpolyeder geht über Wenzel Jamnitzer (1508-1585) und Johannes Kepler bis ins 19. Jahrhundert, als der französische Mathematiker Louis Poinsot (1777-1859) den letzten von vier heute als reguläre Sternpolyeder bezeichneten Körpern entdeckte.

Wie unsere Objekte zeigen, hat der ästhetische Reiz der im obigen verallgemeinerten Sinne regelmäßigen Polyeder Künstler, Architekten und Designer auch in späteren Zeiten inspiriert, mehr dazu unter Adventslaterne.


Abgesehen vom Würfel scheinen platonische und archimedische Polyeder wenig geeignet, den Raum damit lückenlos zu füllen oder gar auf der Grundlage einer solchen Raumfüllung Gebäude zu errichten. Eine Ausnahme bildet die Möglichkeit, den Raum mit solchen "schiefen Quadern" (der Mathematiker nennt sie Parallelepipede) zu pflastern, dass jeder von ihnen aus zwei regulären Tetraedern und einem regulären Oktaeder zusammengesetzt werden kann 5.11. Man braucht dann doppelt so viele Tetraeder wie Oktaeder, um einen Bezirk des Raumes lückenlos zu füllen. Das Bild Plattwürmer (1959) von M. C. Escher beruht auf einer derartigen Architektur. Ein tatsächlich existierendes Gebäude, das nicht auf der Plasterung des Raums durch Quader beruht, findet sich in der israelischen Wüste Negev, siehe Eine Synagoge und ihr Modell.

Keplers Modell

Tetraeder

Kubus

Oktaeder

Dodekaeder

Ikosaeder

Archimedische Polyeder

Archimedische Polyeder

Illustrationen Leonardos in Paciolis Divina Proportione

snub cube in der
harmonice mundi

snub cube übernommen durch Th. Heath in
A History of Greek Mathematics, Vol. II

Schrank mit Polyedermodellen

Sternpolyeder von Uccello

Sternpolyeder von Jamnitzer

Keplers Modell

Die platonischen Körper sind aber auch Gegenstand naturwissenschaftlicher Spekulation gewesen. Ihren Namen haben sie daher, dass Platon (427-347 v. Chr.) die makroskopische Verschiedenheit fester, flüssiger, gasförmiger und "feuriger" (Wir würden heute vielleicht sagen Plasma) Materie damit erklären wollte, dass ihre Atome die Gestalt von regelmäßigen Polyedern haben, wobei zum Beispiel die ziemlich runde Form des Ikosaeders das "Auseinanderrollen" von Flüssigkeitsatomen und die gute Stapelbarkeit von Würfeln die Standfestigkeit fester Materie erklären sollte. In eine ähnliche Richtung geht noch 1596 die berühmte spekulative Idee Keplers, die Abstände der Planeten von der Sonne durch in zweckmäßiger Reihenfolge ineinandergeschachtelte platonische Polyeder mit ihren jeweiligen ein- und umbeschriebenen Kugeln zu erklären.



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