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Symmetrie und Ornamente
August Ferdinand Möbius

Symmetrie im heutigen Sinn ist das älteste Bindeglied zwischen Geometrie und der dekorativen Gestaltung von Flächen und Gegenständen. Wir finden sie in allen Kulturen und zu allen Zeiten, meist in einer für die jeweilige Kultur charakteristischen Ausprägung. Das aus dem Griechischen stammende Wort hatte jedoch bis ins 19. Jahrhundert eine andere Bedeutung als heute. Es bezeichnete das wiederholte Auftreten derselben Verhältnisse (Proportionen) an verschiedenen Teilen eines Gebäudes oder Kunstwerkes im Kleinen und im Großen. An der Bedeutungsänderung des Wortes zu seinem jetzigen Inhalt hin hatte die sich im 19. Jahrhundert stark entwickelnde Mineralogie und Kristallographie großen Anteil.


Der Leipziger Mathematiker August Ferdinand Möbius (1790-1868) schrieb 1849 in einer Arbeit über Kristallsymmetrie:

Eine Figur soll symmetrisch (in weiterem Sinne) heißen, wenn sie einer ihr gleichen und ähnlichen Figur auf mehr als eine Art gleich und ähnlich gesetzt werden kann.

1851 schrieb er in einer Arbeit über symmetrische Figuren:

So wie jede Größe sich selbst gleich ist, so ist auch jede Figur sich selbst gleich und ähnlich. Es gibt aber Figuren, welche sich selbst auf mehr als eine Art gleich und ähnlich sind, und solche Figuren sollen symmetrisch genannt werden... Am sichersten dürfte der Grad der Symmetrie einer Figur durch die Zahl bestimmt werden, welche angibt, auf wie viel verschiedene Arten die Figur sich gleich und ähnlich ist.

Hiernach hätten sowohl eine Gerade als auch eine Kreislinie, eine Ebene, eine Kugeloberfläche und der ganze leere Raum den Symmetriegrad kontinuierlich unendlich. Durch das Eintragen einer einzigen ganz unsymmetrischen Figur in eine solche hochsymmetrische geometrische Struktur reduzieren wir den Symmetriegrad sofort auf sein Minimum 1: Das Ganze läßt sich nur noch auf die eine Art mit sich selbst zur Deckung bringen, dass man es an seinem Platz läßt. Der kreative Gestalter interessiert sich aber für solche Figuren (Muster), die eine endliche oder wenigstens diskrete (und daher abzählbar unendliche) Mannigfaltigkeit von Deckabbildungen zulassen.

Kirche Santa Katarina in Pisa

In der Ebene unterscheiden wir folgende Arten von Symmetrien:


Zentralsymmetrien:

alle zulässigen Deckabbildungen sind Drehungen um einen gemeinsamen Mittelpunkt oder Spiegelungen an einer Geraden durch diesen Punkt, siehe Fußbodenmosaike des Markusdoms in Venedig.


Fries-Symmetrien:

ein Streifenmuster endlicher Breite, aber potentiell unendlicher Länge wird durch
  • Verschieben in sich,
  • Drehen um 180 Grad,
  • Spiegeln an Längs- und/oder Querachsen mit sich selbst zur Deckung gebracht,


Symmetrien von flächendeckenden Mustern:

die mindestens Verschiebungen in zwei verschiedenen Richtungen gestatten, wie die ägyptischen Ornamente unten und 3.7 3.8 3.10 3.11.


Theben um 1200 v.Chr. Theben um 1500-1300 v.Chr.

Kathedrale von Pisa
Zu hoher Blüte gelangte die Ornamentkunst besonders in den islamischen Ländern, siehe Beispiele islamischer Ornamentkunst. Dieser Stil strahlte auch in die in direktem Kontakt zu ihnen stehenden christlichen Länder des Mittelmeerraumes aus wie etwa der Fußboden im Baptisterium der Kathedrale von Pisa aus dem 12. Jahrhundert zeigt, siehe kleines Bild rechts (Foto: A. Speltz).


Kirche St. Lorenz in Turin

Während ebene Muster als typische Deckabbildungen im allgemeinen Translationen (Verschiebungen) gestatten, sind auf der Kugeloberfläche nur Drehungen und Spiegelungen (an Großkreisen bzw. an Ebenen durch den Kugelmittelpunkt) möglich. Allgemeiner trifft dies für die Symmetrien begrenzter räumlicher Objekte zu, was besonders für die im 5. Thema zu besprechenden Polyeder eine Rolle spielt. Wie unter diesen Umständen ein rotationssymmetrisches Ornament aussehen kann, zeigen wir am Beispiel der annähernd halbkugelförmigen Kuppel der Kirche St. Lorenz in Turin (erbaut Ende des 17. Jhs. Von dem berühmten Barock-Architekten Guarino Guarini).


Würfel von Vivarelli

Symmetrie ist natürlich auch bei räumlichen Objekten möglich. Ein Kubus (Würfel) gestattet 48 Deckabbildungen: Für eine beliebige Ecke E seiner acht Ecken kann man eine der acht Ecken als zugeordnete (Bild-) Ecke f(E) wählen, danach für eine der drei von E ausgehenden Kanten k eine der drei von f(E) ausgehenden Kanten als f(k), und schließlich für eines der zwei an k grenzenden Quadrate q eines der zwei an f(k) grenzenden Quadrate als f(q). In dem modernen Kunstobjekt von C. Vivarelli ist diese Würfelsymmetrie durch eine aufgeprägte Struktur so abgeschwächt, dass nur noch 12 Deckabbildungen möglich sind: Für eine beliebige Ecke gibt es nur noch drei weitere gleichartige (insgesamt also vier). Die drei von der Bildecke ausgehenden Kanten sind gleichartig, die beiden an eine Kante angrenzenden Seitenflächen jedoch nicht. Es gibt also 4 mal 3 Zuordnungsmöglichkeiten.


Die schon in den genannten Fällen nicht ganz einfache Klassifikation aller Möglichkeiten gehört zum Gegenstand der Gruppentheorie. Sowohl diese Theorie als auch der Begriff der Symmetrie überhaupt haben vielfältigste Anwendungen in den verschiedensten Naturwissenschaften, die daher auch zur Verallgemeinerung der Konzepte geführt haben: Die Grundmenge, auf die die Symmetrieabbildungen angewendet werden, kann viel komplizierter bzw. abstrakter als eine Ebene oder ein Ebenenstreifen sein, und die Symmetrien müssen nicht Deckabbildungen im naiven geometrischen Sinn sein. Selbst solche Verallgemeinerungen hat sich mittlerweile die Kunst erschlossen (siehe dazu Eschers Kreislimit). Der Ursprung liegt aber im Bedürfnis des Menschen, seine Umwelt dekorativ zu gestalten. In Anbetracht der großen Rolle, die Symmetrie in der modernen Wissenschaft spielt, können wir sie als das historisch erste große Geschenk der Kunst an die Mathematik bezeichnen.



August Ferdinand Möbius

Kirche Santa Katarina in Pisa

Theben um 1200 v.Chr.

Theben um 1500-1300 v.Chr.

Kathedrale von Pisa

Kirche St. Lorenz in Turin

Würfel von Vivarelli
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